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AI智能摘要

文章介绍了高等数学基础中函数的定义域问题，通过解析两个具体函数的表达式和定义域条件，得出了各函数的定义域。第一个函数f(x)=ln⁡1−xx−3的定义域为(1,3)，第二个函数y=x2−xy=sqrt{x^2-x}、y=1ln⁡|x−1|y=frac{1}{ln|x-1|}、y=2x−1y=sqrt{2^x-1}、y=x2+4x+5sqrt{x^2+4x+5}的定义域分别为全体实数、全体实数、全体实数、全体实数。

1.函数 $f(x)=\ln\frac{1-x}{x-3}$ 的定义域为____。

解： $lnx$ 是对数,对数真数x>0。所以 $\frac{1-x}{x-3}>0=>\frac{-(x-1)}{x-3}>0=>\frac{x-1}{x-3}<0$

$x-1>0$ 且 $x-3<0$ ,即 $1<x<3$

$x-1<0$ 且 $x-3>0$ ,无交集（无解）

答案： $(1,3)$

2.下列函数中，定义域为全体实数的是:

A. $y=\sqrt{x^2-x}$

B. $y=\frac{1}{\ln|x-1|}$

C. $y=\sqrt{2^x-1}$

D. $\sqrt{x^2+4x+5}$

解：A选项，根号下大于等于0，解出x>=1或者x<=0，故排除。B选项,分母不为0，所以 $\ln\left|x-1\right|\neq0$ 且 $\left|x-1\right|>0$ , $|x+1|>0=>x\neq-1,ln|x+1|\neq0=>|x+1|\neq1=>x\neq0$ 且 $x\neq-2$ 。定义域为 $x\neq-2,-1,0$ ,故排除。